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平方数の和
$$\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2 = \frac{ n(n+1)(2n+1) }{ 6 }$$
これは正三角形で捉えるとわかりやすいかと思います。
120度回転させた三角形を二つ作り、その和を計算すると必ず全ての値が$2n+1$となることが確認できるかと思います。
あとは、この$2n+1$が何個あるのか計算すれば求めることができます。
算出方法は$2n+1$が連続する自然数分存在するので、前回の自然数の和の公式を使用して求めることができます。
